Unterschiede
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analogrechner:sinusgenerator [2018-02-03 09:05] rainer created ohne Abbildungen |
analogrechner:sinusgenerator [2019-10-01 19:45] rainer |
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Autor: Rainer Glaschick, Paderborn | Autor: Rainer Glaschick, Paderborn | ||
- | Datum: 2014-02-01 | ||
+ | Als Lösung einer Differentialgleichung | ||
+ | ====================================== | ||
Sinus- (und Cosinus-) Schwingungen werden auf dem Analogrechner | Sinus- (und Cosinus-) Schwingungen werden auf dem Analogrechner | ||
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durch zwei Integratoren und einen Inverter erzeugt: | durch zwei Integratoren und einen Inverter erzeugt: | ||
- | [svg:./SinusStandard.svg:] | + | [svg:analogrechner/sinusstandard.svg:,] |
Wenn dabei der Anfangswert von x auf 1 und der von y auf 0 | Wenn dabei der Anfangswert von x auf 1 und der von y auf 0 | ||
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Diese Schaltung wird durch folgendes Gleichungssystem | Diese Schaltung wird durch folgendes Gleichungssystem | ||
- | beschrieben: | + | beschrieben (siehe [[TietzeSchenk]], S. 476-479): |
`-tau dot x = z | `-tau dot x = z | ||
`-tau dot y = x + epsi z | `-tau dot y = x + epsi z | ||
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Mit `omega=1/tau` und `2 gamma = -epsi omega^2` | Mit `omega=1/tau` und `2 gamma = -epsi omega^2` | ||
- | ist die Lösung ([TietzeSchenk], Kap. 15.4): | + | ist die Lösung: |
`x(t) = e^(-gamma t) sin(sqrt(omega^2 - gamma^2) *t) | `x(t) = e^(-gamma t) sin(sqrt(omega^2 - gamma^2) *t) | ||
Zeile 54: | Zeile 55: | ||
hier ein Paar antiseriell geschalteter Zenerdioden: | hier ein Paar antiseriell geschalteter Zenerdioden: | ||
- | [svg:./SinusStandardZener.svg:,] | + | [svg:analogrechner/SinusStandardZener.svg:,] |
Dies ist nicht nur aus systematischen Gründen unbefriedigend, | Dies ist nicht nur aus systematischen Gründen unbefriedigend, | ||
Zeile 63: | Zeile 64: | ||
Dabei ist 'K1' so klein wie möglich einzustellen, | Dabei ist 'K1' so klein wie möglich einzustellen, | ||
um Verzerrungen möglichst klein zu halten. | um Verzerrungen möglichst klein zu halten. | ||
- | Wenn -- wie meistens möglich -- eine Anfangsbedingung | + | Eine Anfangsbedingung ist nicht notwendig, weil sich die Schwingungen selbst entfachen, |
- | gesetzt werden kann, ist dies ohnehin nicht zum Anfachen, | + | wenn 'K1' groß genug ist, um die Schwingungen aufrecht zu erhalten. |
- | sondern nur zum Aufrechterhalten der Schwingungen notwendig. | + | |
+ | Das Signal wird am besten am Ausgang von 'A1' abgenommen, da es dort am wenigsten verzerrt ist. | ||
+ | Am Ausgang von 'A2' ist das Signal um 90° phasenverschoben, also der Cosinus. | ||
Im "MiniAC" der Firma EAI ist ein Begrenzer-Zusatz vefügbar, | Im "MiniAC" der Firma EAI ist ein Begrenzer-Zusatz vefügbar, | ||
- | der parallel zu einem zu begrenzenden Verstärker geschaltet | + | der parallel zu einem zu begrenzenden Verstärker oder Integrator geschaltet |
wird und intern vorgespannte Dioden bereitstellt, | wird und intern vorgespannte Dioden bereitstellt, | ||
womit zwar die Amplitude einstellbar wird, | womit zwar die Amplitude einstellbar wird, | ||
aber wegen der Dioden weder für kleine Spannungen geeignet noch | aber wegen der Dioden weder für kleine Spannungen geeignet noch | ||
temperaturstabil ist. | temperaturstabil ist. | ||
+ | Man kann den Begrenzer auch auf den Umkehrverstärker anwenden; | ||
+ | allerdings ist dann bei gleicher Stellung von 'K1' eine größere Verzerrung | ||
+ | vorhanden (die am Ausgang von 'A2' am geringsten ist). | ||
Anstatt die Amplitude des Integrators zu beschränken, | Anstatt die Amplitude des Integrators zu beschränken, | ||
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einem Schwellwert die (geringe) Mitkopplung `epsi` durch eine | einem Schwellwert die (geringe) Mitkopplung `epsi` durch eine | ||
Gegenkopplung ersetzt, wenn die (negativen) Amplituden den durch 'K2' | Gegenkopplung ersetzt, wenn die (negativen) Amplituden den durch 'K2' | ||
- | gegeben Wert unterschreiten: | + | gegeben Wert unterschreiten (hier für den [http:rg14-mini RG-14 mini] mit Stromeingängen): |
- | [svg:./SinusStandardGleichrichter.svg:] | + | [svg:analogrechner//SinusRG14Gleichrichter.svg:,] |
- | Auch diese Schaltung bewirkt durch die Kappung der negativen Amplituden | + | Mit 'F6B' kann die Amplitude beeinflusst werden; je größer der Wert, desto größer |
- | eine Verzerrung, die umso deutlicher ist, je größer 'K1' eingestellt ist. | + | die Amplitude. Setzt man 'F6A=9', ist die Amplitude sehr genau vorgegeben, |
- | Durch eine Abschwächung des Ausgangs des Gleichrichters kann eine | + | aber die Verzerrung höher, wenn 'F4' nicht optimal (z.B. 0.02) ist. |
- | geringere Verzerrung erreicht werden, allerdings auf Kosten der | + | Ist hingegen 'F6A=1', so ist das Signal unverzerrt, aber die Amplitude größer |
- | Genauigkeit der Amplitude: Je kleiner die Wirkung des Gleichrichters, | + | als vorgegeben. |
- | desto größer ist die Amplitude, wenn 'K1' vergrößert wird. | + | |
- | Eine Variation der Faktoren in der Integratorenkette, | + | Eine Variation der Faktoren in der Integratorenkette |
- | hier gezeigt durch den Faktor 'F3', | + | |
verändert nicht die Amplitude, sondern lediglich die Zeitkonstanten | verändert nicht die Amplitude, sondern lediglich die Zeitkonstanten | ||
der Integratoren und damit die Frequenz. | der Integratoren und damit die Frequenz. | ||
- | Deshalb kann die Limitierung auch nicht im Umkehrverstärker 'A3' erfolgen. | ||
- | Besser ist eine Einstellung mit zwei gleich eingestellten Faktoren | ||
- | vor den Integratoren, weil sonst die Amplituden der Ausgänge unterschiedlich sind. | ||
- | |||
Das ergibt sich auch aus folgender Betrachtung im Frequenzbereich: | Das ergibt sich auch aus folgender Betrachtung im Frequenzbereich: | ||
Zeile 112: | Zeile 110: | ||
und die Stabilität der Frequenz entscheidend von der Amplitudenstabiliät abhängt. | und die Stabilität der Frequenz entscheidend von der Amplitudenstabiliät abhängt. | ||
- | In [[TietzeSchenk]] wird eine Regelschaltung angegeben, bei der die | + | Man könnte versuchen, die Mitkopplung abzuschalten, wenn die gewünschte Amplitude |
+ | erreicht ist. Mit einem Vergleicher und geschaltetem Faktor ist das wenig aussichtsreich, | ||
+ | weil man die Mitkopplung nur beim Überschreiten der Amplitude, | ||
+ | und so nur für zu kurze Zeit ausschaltet. | ||
+ | |||
+ | Dieser Ansatz findet sich als Regelschaltung in [[TietzeSchenk]], bei der die | ||
Amplitude mit Hilfe der Beziehung `sin^2 x + cos^2 x` | Amplitude mit Hilfe der Beziehung `sin^2 x + cos^2 x` | ||
in jedem Moment bestimmt wird; | in jedem Moment bestimmt wird; | ||
- | dann kann ein Regler eingesetzt werden, der | + | dann kann ein (Proportional-) Regler eingesetzt werden, der |
die Amplitude auf den gewünschen Wert regelt, | die Amplitude auf den gewünschen Wert regelt, | ||
indem für das Potentiometer 'K1' ein Multiplizierer verwendet wird. | indem für das Potentiometer 'K1' ein Multiplizierer verwendet wird. | ||
+ | |||
+ | Als Polynom-Approximation | ||
+ | ========================= | ||
+ | |||
+ | Aus einer Dreieckschwingung kann über die folgende →[http://rclab.de/analogrechner/tschebyscheffapproximation Tschebyscheff Approximation]: | ||
+ | `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 | ||
+ | | ||
+ | eine Sinusschwingung mit einem Fehler von max. 8‰ erzeugt werden. | ||
+ | Man könnte versuchen, das Quadrat und die dritte Potenz von `x` durch zweimalige Integration | ||
+ | zu erzeugen; allerdings veschiebt sich nach einiger Zeit der Mittelwert, | ||
+ | so dass ein Quadrierer und ein Multiplizierer angesagt sind. | ||
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+ | Phasendifferenzmethode | ||
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Ein praktisch vergessener Ansatz für einen Sinusgenerator verwendet | Ein praktisch vergessener Ansatz für einen Sinusgenerator verwendet |