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— | analogrechner:pendel [2021-10-11 14:59] (aktuell) – PDF rainer | ||
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+ | Wenn Ihr Browser die Formeln nicht richtig darstellt, benutzen Sie bitte das {{: | ||
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+ | Pendel mit großer Auslenkung | ||
+ | Autor: Rainer Glaschick, Paderborn | ||
+ | Datum: 2014-06-22 | ||
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+ | Auf einem Analogrechner soll ein Pendel | ||
+ | simuliert werden. | ||
+ | |||
+ | Theorie | ||
+ | ======= | ||
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+ | Die Schwingung eines Pendels ist gegeben durch | ||
+ | ` ddot phi = - omega^2 | ||
+ | |||
+ | Für kleine Auslenkungen ist `sin phi ~~ phi`, | ||
+ | somit wird die übliche Lösung (Basisschaltung)für den linearen Oszillator: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \center | ||
+ | [svg: | ||
+ | |||
+ | Der zweite Integrierer wird mit der anfänglichen Auslenkung des Pendels | ||
+ | initialisert, | ||
+ | Da im folgenden mit dem Bogenmaß gerechnet wird, entspricht das 43°; | ||
+ | bei 45° ist die Formel ohnehin nicht mehr gültig. | ||
+ | |||
+ | Der Faktor vor dem ersten Integrierer bestimmt die Zeitkonstante; | ||
+ | mit dem Wert `sqrt 2 = 0.707` sollte die Periodendauer 2sec sein. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ausführung | ||
+ | ========== | ||
+ | |||
+ | Für die Bildung der Funktion `sin phi` gibt es zwei Möglichkeiten: | ||
+ | |||
+ | a) Benutzung der Näherung `sin phi ~~ phi - phi^3 / 6` | ||
+ | b) Bestimmung von `sin phi` aus `phi` durch Integration | ||
+ | |||
+ | In jedem Fall ist `sin phi` die Projektion in die horizontale Ebene. | ||
+ | |||
+ | Mit Näherungsformel | ||
+ | ----- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Der Fehler ist maximal `phi^5/ | ||
+ | bei einer Auslenkung von 45° oder `pi /4` sind das 0.25%. | ||
+ | (Eine Tschebyscheff-Approximation mit 0.997x - 0.156x³ | ||
+ | hat statt 1% nur 1& | ||
+ | über die Integration nicht weiter relevant.) | ||
+ | |||
+ | Zur analytische Bildung von `x^3` benötigt man jedoch zwei Multiplizierer, | ||
+ | also folgende Rechenschaltung | ||
+ | (Optimierungen durch invertierende Multiplizierer nicht berücksichtigt): | ||
+ | |||
+ | \center | ||
+ | [svg: | ||
+ | |||
+ | Alternativ kann man `x^3 / 6` auch durch zweimalige Integration von x bilden: | ||
+ | `int x dt = 1/2 x ^ 2 | ||
+ | `int x^2 dt = 1/3 x^3 | ||
+ | `int int x d^2t = 1/6 x^3 | ||
+ | |||
+ | Das ergibt folgende Rechenschaltung: | ||
+ | |||
+ | \center | ||
+ | [[svg: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Mit Integration | ||
+ | ------------------ | ||
+ | |||
+ | Da die Ableitungen von `phi` ohnehin vorhanden sind, kann `sin phi` | ||
+ | als gleichzeitige Integration von `phi` erzeugt werden: | ||
+ | `sin phi = -int dot phi cos phi dt | ||
+ | `cos phi = int dot phi sin phi dt | ||
+ | |||
+ | Nunmehr werden zusätzlich zu den beiden Integratoren auch zwei Multiplizierer | ||
+ | benötigt: | ||
+ | |||
+ | \center | ||
+ | [svg: | ||
+ | |||
+ | Bemerkenswerterweise wird hier `phi` selbst nicht mehr benötigt. | ||
+ | |||
+ | Zwar sind mit `sin phi` die Auslenkung in x-Richtung | ||
+ | und mit `cos phi` die in y-Richtung verfügbar; | ||
+ | auf dem Oszilloskop oder Plotter sind aber nur mehr oder weniger lange | ||
+ | Kreisbögen zu sehen. | ||
+ | |||
+ | Es könnte aber Sinn machen, `phi` oder `sin phi` als Funktion der Zeit | ||
+ | darzustellen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \ASCIIMATHML ASCIIMathML.js | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | --- // |