Pendel mit großer Auslenkung

Rainer Glaschick, Paderborn
2014-06-22

Auf einem Analogrechner soll ein Pendel mit großer Auslenkung simuliert werden.

Theorie

Die Schwingung eines Pendels ist gegeben durch

    ` ddot phi = - omega^2 sin phi

Für kleine Auslenkungen ist `sin phi ~~ phi`, somit wird die übliche Lösung (Basisschaltung)für den linearen Oszillator:

Der zweite Integrierer wird mit der anfänglichen Auslenkung des Pendels initialisert, hier 0.75. Da im folgenden mit dem Bogenmaß gerechnet wird, entspricht das 43°; bei 45° ist die Formel ohnehin nicht mehr gültig.

Der Faktor vor dem ersten Integrierer bestimmt die Zeitkonstante; mit dem Wert `sqrt 2 = 0.707` sollte die Periodendauer 2sec sein.

Ausführung

Für die Bildung der Funktion `sin phi` gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Benutzung der Näherung `sin phi ~~ phi - phi^3 / 6`
  2. Bestimmung von `sin phi` aus `phi` durch Integration

In jedem Fall ist `sin phi` die Projektion in die horizontale Ebene.

Mit Näherungsformel

Der Fehler ist maximal `phi^5/120`; bei einer Auslenkung von 45° oder `pi /4` sind das 0.25%. (Eine Tschebyscheff-Approximation mit 0.997x - 0.156x³ hat statt 1% nur 1‰ Fehler; dies ist aber wegen der alternativen Lösung über die Integration nicht weiter relevant.)

Zur analytische Bildung von `x^3` benötigt man jedoch zwei Multiplizierer, also folgende Rechenschaltung (Optimierungen durch invertierende Multiplizierer nicht berücksichtigt):

Alternativ kann man `x^3 / 6` auch durch zweimalige Integration von x bilden:

    `int x dt = 1/2 x ^ 2
    `int x^2 dt = 1/3 x^3
    `int int x d^2t = 1/6 x^3

Das ergibt folgende Rechenschaltung:

[

Mit Integration

Da die Ableitungen von `phi` ohnehin vorhanden sind, kann `sin phi` als gleichzeitige Integration von `phi` erzeugt werden:

    `sin phi = -int dot phi cos phi dt
    `cos phi = int dot phi sin phi dt

Nunmehr werden zusätzlich zu den beiden Integratoren auch zwei Multiplizierer benötigt:

Bemerkenswerterweise wird hier `phi` selbst nicht mehr benötigt.

Zwar sind mit `sin phi` die Auslenkung in x-Richtung und mit `cos phi` die in y-Richtung verfügbar; auf dem Oszilloskop oder Plotter sind aber nur mehr oder weniger lange Kreisbögen zu sehen.

Es könnte aber Sinn machen, `phi` oder `sin phi` als Funktion der Zeit darzustellen.

Rainer Glaschick 2014-06-23 22:07


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