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--- analogrechner:vektorlaenge [2018-01-31 15:59] – inverse methode nach vorne, als beste angesehen rainer
+++ analogrechner:vektorlaenge [2021-10-11 07:54] – asciimath rainer
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 nicht ausreichend groß.
+Polynom-Approximation
+--------------------
-\ASCIIMATHML ./ASCIIMathML.js
+Wegen
+	`sqrt(x^2+y^2) >= max(x,y)
+kann man auch durch einen linearen Ausdruck approxmieren:
+      `sqrt(x^2 + y^2) ~~ alpha x + beta y
+Hierbei ist für `x > y` der Koeffizient `alpha` ungefähr 1;
+dies wird als "Alpha max plus beta min" Verfahren bezeichnet (siehe [https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_max_plus_beta_min_algorithm]  für Werte von `alpha` und `beta`).
+Damit für `y=0` der Funktionswert nicht kleiner als `x` wird, ist `alpha = 1` vorzuziehen.
+Dies entspricht einer Approximation
+      `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + 0.38 x if |x| <= 1
+wobei der Wert 0.38 durch Probieren ermittelt wurde. Mit dem Faktor `sqrt(2)-1 ~~ 0.414` wird der Fehler am Bereichsende minimiert.
+Besser ist freilich eine Taylorreihe (für `x<=1`) mit
+    `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + 0.41*x^2 if |x| <= 1
+benötigt aber einen Quadrierer (anstelle von dreien).
+Mit einem zusätzlichen Multiplizierer ist der Fehler unter 1%:
+     `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + (0.47 - 0.06x)*x^2 if |x| <= 1
+Die Koeffizienten sind wieder empirisch ermittelt; gegebenenfalls können optimale Koeffizienten über eine
+[https://rclab.de/analogrechner/tschebyscheffapproximation Tschebyscheff-Approximation] bestimmt werden.
+\ASCIIMATHML https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.4/latest.js?config=AM_CHTML
 </nimla>

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