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Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen gezeigt.

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analogrechner:tschebyscheffapproximation [2018-02-06 10:13]
rainer created 		analogrechner:tschebyscheffapproximation [2023-02-06 01:11] (aktuell)
rainer tippfehler
Zeile 32: Zeile 32:
 Die übliche Näherung `sin (pi/2 x) ~~ 1.5 x - 0.5 x^3` hat einen maximalen Fehler Die übliche Näherung `sin (pi/2 x) ~~ 1.5 x - 0.5 x^3` hat einen maximalen Fehler
 von 2%; mit den verbesserten Koeffizienten `1.55 x - 0.55 x^3` von 2%; mit den verbesserten Koeffizienten `1.55 x - 0.55 x^3`
-bleibt der Fehler unter 0.8%, +bleibt der Fehler unter 0.8%. Dies ist als `x + 0.55x(1-x^2)` mit einer Multiplikation 
-für die Näherung `cos (pi/2 x) ~~ 1.00 - 1.22 x^2 + 0.22 x^4`+und einer Quadrierung leicht zu erreichen. 
 +Für die Näherung `cos (pi/2 x) ~~ 1.00 - 1.22 x^2 + 0.22 x^4`
 bleibt der Fehler unter 0.2%, bleibt der Fehler unter 0.2%,
 jeweils mit der Abbildung von 0..&​plusmn;​1 auf 0..&​plusmn;​90°. jeweils mit der Abbildung von 0..&​plusmn;​1 auf 0..&​plusmn;​90°.
Zeile 58: Zeile 59:
 durch Sekantenapproximation bereitzustellen. durch Sekantenapproximation bereitzustellen.
  
-Von den 6 normalerweise notwendigen Multiplizierern können 3 durch Quadrier +Die Potenzen bis `x^6` können mit 3 Quadrierern und 2 Multiplizierern berechnete werden:
-ersetzt werden, +
-um die Potenzen bis `x^6` zu berechnen:+
  `x^3 = x^2 * x`  `x^3 = x^2 * x`
  `x^4 = ( x^2 )  ^2  `x^4 = ( x^2 )  ^2
  `x^5 = x^4 * x  `x^5 = x^4 * x
- `x^6 = ( x^3 ) ^2+  `x^6 = (x^3)^2 
 + 
 +Zwar sind bei direkter Bildung von `x^6` auch 5 Multiplizierer notwendig,  
 +aber in dem obigen Schema sind höchstens 3 Elemente in Reihe, so dass Fehler weniger stark akkumulieren. ​
  
-Diese Schema sollte auch ohne Quadrierer verwendet werden, 
-um nicht zu lange Ketten von Operationen zu bilden 
-(in der naiven Form sind bei `x^7` 5 Multiplikationen in Reihe, 
-deren Fehler sich akkumulieren können.). 
  
 Tschebyscheff-Approximation Tschebyscheff-Approximation
Zeile 144: Zeile 142:
 Der maximalen Fehler ist 0.5 &​permil;;​ und 1.5&​permil;​ für die gerundeten Faktoren: Der maximalen Fehler ist 0.5 &​permil;;​ und 1.5&​permil;​ für die gerundeten Faktoren:
  
-[img:​Tschebyscheff-Approximation-graph1.png]+[img:analogrechner/​Tschebyscheff-Approximation-graph1.png]
  
 Für die Genauigkeit des Ergebnisses ist einerseits der  -- unkritsche -- Faktor 1.00, Für die Genauigkeit des Ergebnisses ist einerseits der  -- unkritsche -- Faktor 1.00,
Zeile 161: Zeile 159:
 Weglassen von `T_5` könnte bis zu 0.5&​permil;​ Fehler bewirken, und es wird Weglassen von `T_5` könnte bis zu 0.5&​permil;​ Fehler bewirken, und es wird
  `sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.4098 x  `sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.4098 x
- `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3+ `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3 = x + 0.55 x (1-x^2)
  
 Die Abweichung bleibt mit den brechneten wie auch mit den gerundeten Faktoren Die Abweichung bleibt mit den brechneten wie auch mit den gerundeten Faktoren
 unter 8&​permil;:​ unter 8&​permil;:​
  
-[img:​Tschebyscheff-Approximation-graph2.png]+[img:analogrechner/​Tschebyscheff-Approximation-graph2.png]
  
  
Zeile 187: Zeile 185:
 Abbrechen nach dem 4. Glied ist geboten, also wird: Abbrechen nach dem 4. Glied ist geboten, also wird:
  `cos x ~~ 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4 - 1/720 x^6  `cos x ~~ 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4 - 1/720 x^6
- `cox x ~~ 1 - 1/4 T_2 - 1/4 + 1/192 T_4 + 1/48 T_2 + 1/64 - 1/23040 T_6 - 1/3840 T_4 - 1/1536 T_2 - 1/2304+ `cos x ~~ 1 - 1/4 T_2 - 1/4 + 1/192 T_4 + 1/48 T_2 + 1/64 - 1/23040 T_6 - 1/3840 T_4 - 1/1536 T_2 - 1/2304
  `cos x ~~ 0.7652 - 0.2298 T_2 + 0.0049 T_4 = 0.7652 - 0.4596 x^2 + 0.2298 + 0.0392 x^4 - 0.0392 x^2 + 0.0049  `cos x ~~ 0.7652 - 0.2298 T_2 + 0.0049 T_4 = 0.7652 - 0.4596 x^2 + 0.2298 + 0.0392 x^4 - 0.0392 x^2 + 0.0049
  `cos x ~~ 0.9999 - 0.4988 x^2 + 0.0392 x^4 ~~ 1.00 - 0.50 x^2 + 0.404 x^4  `cos x ~~ 0.9999 - 0.4988 x^2 + 0.0392 x^4 ~~ 1.00 - 0.50 x^2 + 0.404 x^4
Zeile 193: Zeile 191:
 Die Abweichung ist kleiner als 0.1&​permil;​ bzw. 0.15&​permil;​ für die gerundeten Koeffizienten:​ Die Abweichung ist kleiner als 0.1&​permil;​ bzw. 0.15&​permil;​ für die gerundeten Koeffizienten:​
  
-[img:​Tschebyscheff-Approximation-graph3.png]+[img:analogrechner/​Tschebyscheff-Approximation-graph3.png]
  
  
Zeile 204: Zeile 202:
 Die Abweichung ist kleiner als 1&​permil;​ für die berechneten bzw. 2&​permil;​ für die gerundeten Koeffizienten:​ Die Abweichung ist kleiner als 1&​permil;​ für die berechneten bzw. 2&​permil;​ für die gerundeten Koeffizienten:​
  
-[img:​Tschebyscheff-Approximation-graph4.png]+[img:analogrechner/​Tschebyscheff-Approximation-graph4.png]
  
  

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