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analogrechner:tschebyscheffapproximation

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analogrechner:tschebyscheffapproximation [2018-02-24 11:13] – Horner-Schema korrigiert raineranalogrechner:tschebyscheffapproximation [2025-06-10 14:49] (aktuell) – rainer
Zeile 91: Zeile 91:
  `T_5 (x) = 16 x^5 - 20 x^3 + 5 x  `T_5 (x) = 16 x^5 - 20 x^3 + 5 x
  `T_6 (x) = 32 x^6 - 48 x^4 +18 x^2 - 1  `T_6 (x) = 32 x^6 - 48 x^4 +18 x^2 - 1
 +        `T_7 (x) = 64 x^7 - 112 x^5 +56 x^3 - 7 x
  
 Als Rekursionsformel: Als Rekursionsformel:
Zeile 125: Zeile 126:
  `sin x = x - 1/6 x^3 + 1/120 x^5 - 1/5040 epsilon^7 " " "für "  0 <= epsilon <=x`  `sin x = x - 1/6 x^3 + 1/120 x^5 - 1/5040 epsilon^7 " " "für "  0 <= epsilon <=x`
  
-Weglassen des letzten Gliedes ergibt einen maximalen Fehler von 0.2%permil; (für x &le; 1);+Weglassen des letzten Gliedes ergibt einen maximalen Fehler von 0.2&permil; (für x &le; 1);
 damit wird (mit der abgekürzten Schreibweise `T_iota` für `T_iota (x)`: damit wird (mit der abgekürzten Schreibweise `T_iota` für `T_iota (x)`:
  `sin x = x - 1/6 x^3 + 1/120 x^5  `sin x = x - 1/6 x^3 + 1/120 x^5
- `sin x = T_1 - 1/24 T_3 - 3/24 T_1 + 1/(16*120) T_5 + 5/(16*120) T_3 + 10/(16*120) T_1+ `sin x = T_1 - 1/24 T_3 - 3/24 T_1 + 1/(16*120) T_5 + 5/(16*120) T_3 + 10/(16*120) T_7
  `sin x = (1 - 3/24 + 1/(16*12)) T_1 - (1/24 - 1/(16*24)) T_3 + 1/1920 T_5  `sin x = (1 - 3/24 + 1/(16*12)) T_1 - (1/24 - 1/(16*24)) T_3 + 1/1920 T_5
  
Zeile 155: Zeile 156:
 und es wird: und es wird:
  `sin (pi/2 x) = 1.5708 x - 0.6460 x^3 + 0.0797 x^5  `sin (pi/2 x) = 1.5708 x - 0.6460 x^3 + 0.0797 x^5
- `sin (pi/2 x) = 1.5708 T_1 - 0.1615 T_3 - 0.4845 T_1 + 0.005 T_5 + 0.0249 T_3 + 0.0498 T_1+ `sin (pi/2 x) = 1.5708 T_1 - 0.1615 T_3 - 0.4845 T_1 + 0.005 T_5 + 0.0249 T_3 + 0.0498 T_7
  
 Weglassen von `T_5` könnte bis zu 0.5&permil; Fehler bewirken, und es wird Weglassen von `T_5` könnte bis zu 0.5&permil; Fehler bewirken, und es wird
- `sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.4098 x+ `sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.0498 x
  `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3 = x + 0.55 x (1-x^2)  `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3 = x + 0.55 x (1-x^2)
  
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 Abbrechen nach dem 4. Glied ist geboten, also wird: Abbrechen nach dem 4. Glied ist geboten, also wird:
  `cos x ~~ 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4 - 1/720 x^6  `cos x ~~ 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4 - 1/720 x^6
- `cox x ~~ 1 - 1/4 T_2 - 1/4 + 1/192 T_4 + 1/48 T_2 + 1/64 - 1/23040 T_6 - 1/3840 T_4 - 1/1536 T_2 - 1/2304+ `cos x ~~ 1 - 1/4 T_2 - 1/4 + 1/192 T_4 + 1/48 T_2 + 1/64 - 1/23040 T_6 - 1/3840 T_4 - 1/1536 T_2 - 1/2304
  `cos x ~~ 0.7652 - 0.2298 T_2 + 0.0049 T_4 = 0.7652 - 0.4596 x^2 + 0.2298 + 0.0392 x^4 - 0.0392 x^2 + 0.0049  `cos x ~~ 0.7652 - 0.2298 T_2 + 0.0049 T_4 = 0.7652 - 0.4596 x^2 + 0.2298 + 0.0392 x^4 - 0.0392 x^2 + 0.0049
  `cos x ~~ 0.9999 - 0.4988 x^2 + 0.0392 x^4 ~~ 1.00 - 0.50 x^2 + 0.404 x^4  `cos x ~~ 0.9999 - 0.4988 x^2 + 0.0392 x^4 ~~ 1.00 - 0.50 x^2 + 0.404 x^4
analogrechner/tschebyscheffapproximation.1519467202.txt.gz · Zuletzt geändert: 2018-02-24 11:13 von rainer