Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- analogrechner:tschebyscheffapproximation [2018-02-06 11:17] – Figuren eingebunden rainer
+++ analogrechner:tschebyscheffapproximation [2025-06-10 14:49] (aktuell) – rainer
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 Die übliche Näherung `sin (pi/2 x) ~~ 1.5 x - 0.5 x^3` hat einen maximalen Fehler
 von 2%; mit den verbesserten Koeffizienten `1.55 x - 0.55 x^3`
-bleibt der Fehler unter 0.8%,
+bleibt der Fehler unter 0.8%. Dies ist als `x + 0.55x(1-x^2)` mit einer Multiplikation
-für die Näherung `cos (pi/2 x) ~~ 1.00 - 1.22 x^2 + 0.22 x^4`
+und einer Quadrierung leicht zu erreichen.
+Für die Näherung `cos (pi/2 x) ~~ 1.00 - 1.22 x^2 + 0.22 x^4`
 bleibt der Fehler unter 0.2%,
 jeweils mit der Abbildung von 0..&plusmn;1 auf 0..&plusmn;90°.
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 durch Sekantenapproximation bereitzustellen.
-Von den 6 normalerweise notwendigen Multiplizierern können 3 durch Quadrier
+Die Potenzen bis `x^6` können mit 3 Quadrierern und 2 Multiplizierern berechnete werden:
-ersetzt werden,
-um die Potenzen bis `x^6` zu berechnen:
 	`x^3 = x^2 * x`
 	`x^4 = ( x^2 )  ^2
 	`x^5 = x^4 * x
-	`x^6 = ( x^3 ) ^2
+  	`x^6 = (x^3)^2
+Zwar sind bei direkter Bildung von `x^6` auch 5 Multiplizierer notwendig,
+aber in dem obigen Schema sind höchstens 3 Elemente in Reihe, so dass Fehler weniger stark akkumulieren.
-Diese Schema sollte auch ohne Quadrierer verwendet werden,
-um nicht zu lange Ketten von Operationen zu bilden
-(in der naiven Form sind bei `x^7` 5 Multiplikationen in Reihe,
-deren Fehler sich akkumulieren können.).
 Tschebyscheff-Approximation
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 	`T_5 (x) = 16 x^5 - 20 x^3 + 5 x
 	`T_6 (x) = 32 x^6 - 48 x^4 +18 x^2 - 1
+        `T_7 (x) = 64 x^7 - 112 x^5 +56 x^3 - 7 x
 Als Rekursionsformel:
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 	`sin x = x - 1/6 x^3 + 1/120 x^5 - 1/5040 epsilon^7 " " "für "  0 <= epsilon <=x`
-Weglassen des letzten Gliedes ergibt einen maximalen Fehler von 0.2%permil; (für x &le; 1);
+Weglassen des letzten Gliedes ergibt einen maximalen Fehler von 0.2&permil; (für x &le; 1);
 damit wird (mit der abgekürzten Schreibweise `T_iota` für `T_iota (x)`:
 	`sin x = x - 1/6 x^3 + 1/120 x^5
-	`sin x = T_1 - 1/24 T_3 - 3/24 T_1 + 1/(16*120) T_5 + 5/(16*120) T_3 + 10/(16*120) T_1
+	`sin x = T_1 - 1/24 T_3 - 3/24 T_1 + 1/(16*120) T_5 + 5/(16*120) T_3 + 10/(16*120) T_7
 	`sin x = (1 - 3/24 + 1/(16*12)) T_1 - (1/24 - 1/(16*24)) T_3 + 1/1920 T_5
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 und es wird:
 	`sin (pi/2 x) = 1.5708 x - 0.6460 x^3 + 0.0797 x^5
-	`sin (pi/2 x) = 1.5708 T_1 - 0.1615 T_3 - 0.4845 T_1 + 0.005 T_5 + 0.0249 T_3 + 0.0498 T_1
+	`sin (pi/2 x) = 1.5708 T_1 - 0.1615 T_3 - 0.4845 T_1 + 0.005 T_5 + 0.0249 T_3 + 0.0498 T_7
 Weglassen von `T_5` könnte bis zu 0.5&permil; Fehler bewirken, und es wird
-	`sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.4098 x
+	`sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.0498 x
-	`sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3
+	`sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3 = x + 0.55 x (1-x^2)
 Die Abweichung bleibt mit den brechneten wie auch mit den gerundeten Faktoren
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 Abbrechen nach dem 4. Glied ist geboten, also wird:
 	`cos x ~~ 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4 - 1/720 x^6
-	`cox x ~~ 1 - 1/4 T_2 - 1/4 + 1/192 T_4 + 1/48 T_2 + 1/64 - 1/23040 T_6 - 1/3840 T_4 - 1/1536 T_2 - 1/2304
+	`cos x ~~ 1 - 1/4 T_2 - 1/4 + 1/192 T_4 + 1/48 T_2 + 1/64 - 1/23040 T_6 - 1/3840 T_4 - 1/1536 T_2 - 1/2304
 	`cos x ~~ 0.7652 - 0.2298 T_2 + 0.0049 T_4 = 0.7652 - 0.4596 x^2 + 0.2298 + 0.0392 x^4 - 0.0392 x^2 + 0.0049
 	`cos x ~~ 0.9999 - 0.4988 x^2 + 0.0392 x^4 ~~ 1.00 - 0.50 x^2 + 0.404 x^4