Unterschiede
Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen gezeigt.
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analogrechner:tschebyscheffapproximation [2018-02-06 10:17] rainer Figuren eingebunden |
analogrechner:tschebyscheffapproximation [2018-02-24 10:13] rainer Horner-Schema korrigiert |
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| Zeile 32: | Zeile 32: | ||
| Die übliche Näherung `sin (pi/2 x) ~~ 1.5 x - 0.5 x^3` hat einen maximalen Fehler | Die übliche Näherung `sin (pi/2 x) ~~ 1.5 x - 0.5 x^3` hat einen maximalen Fehler | ||
| von 2%; mit den verbesserten Koeffizienten `1.55 x - 0.55 x^3` | von 2%; mit den verbesserten Koeffizienten `1.55 x - 0.55 x^3` | ||
| - | bleibt der Fehler unter 0.8%, | + | bleibt der Fehler unter 0.8%. Dies ist als `x + 0.55x(1-x^2)` mit einer Multiplikation |
| - | für die Näherung `cos (pi/2 x) ~~ 1.00 - 1.22 x^2 + 0.22 x^4` | + | und einer Quadrierung leicht zu erreichen. |
| + | Für die Näherung `cos (pi/2 x) ~~ 1.00 - 1.22 x^2 + 0.22 x^4` | ||
| bleibt der Fehler unter 0.2%, | bleibt der Fehler unter 0.2%, | ||
| jeweils mit der Abbildung von 0..±1 auf 0..±90°. | jeweils mit der Abbildung von 0..±1 auf 0..±90°. | ||
| Zeile 58: | Zeile 59: | ||
| durch Sekantenapproximation bereitzustellen. | durch Sekantenapproximation bereitzustellen. | ||
| - | Von den 6 normalerweise notwendigen Multiplizierern können 3 durch Quadrier | + | Die Potenzen bis `x^6` können mit 3 Quadrierern und 2 Multiplizierern berechnete werden: |
| - | ersetzt werden, | + | |
| - | um die Potenzen bis `x^6` zu berechnen: | + | |
| `x^3 = x^2 * x` | `x^3 = x^2 * x` | ||
| `x^4 = ( x^2 ) ^2 | `x^4 = ( x^2 ) ^2 | ||
| `x^5 = x^4 * x | `x^5 = x^4 * x | ||
| - | `x^6 = ( x^3 ) ^2 | + | `x^6 = (x^3)^2 |
| + | |||
| + | Zwar sind bei direkter Bildung von `x^6` auch 5 Multiplizierer notwendig, | ||
| + | aber in dem obigen Schema sind höchstens 3 Elemente in Reihe, so dass Fehler weniger stark akkumulieren. | ||
| - | Diese Schema sollte auch ohne Quadrierer verwendet werden, | ||
| - | um nicht zu lange Ketten von Operationen zu bilden | ||
| - | (in der naiven Form sind bei `x^7` 5 Multiplikationen in Reihe, | ||
| - | deren Fehler sich akkumulieren können.). | ||
| Tschebyscheff-Approximation | Tschebyscheff-Approximation | ||
| Zeile 161: | Zeile 159: | ||
| Weglassen von `T_5` könnte bis zu 0.5‰ Fehler bewirken, und es wird | Weglassen von `T_5` könnte bis zu 0.5‰ Fehler bewirken, und es wird | ||
| `sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.4098 x | `sin (pi/2 x) ~~ 1.1362 T_1 - 0.1366 T_3 = 1.1362 x - 0.5464 x^3 + 0.4098 x | ||
| - | `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3 | + | `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3 ~~ 1.55 x - 0.55 x^3 = x + 0.55 x (1-x^2) |
| Die Abweichung bleibt mit den brechneten wie auch mit den gerundeten Faktoren | Die Abweichung bleibt mit den brechneten wie auch mit den gerundeten Faktoren | ||
