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Pendel mit großer Auslenkung

Rainer Glaschick, Paderborn
2014-06-22

Auf einem Analogrechner soll ein Pendel mit großer Auslenkung simuliert werden.

Theorie

Die Schwingung eines Pendels ist gegeben durch

Für kleine Auslenkungen ist sinφφ, somit wird die übliche Lösung (Basisschaltung)für den linearen Oszillator:

Der zweite Integrierer wird mit der anfänglichen Auslenkung des Pendels initialisert, hier 0.75. Da im folgenden mit dem Bogenmaß gerechnet wird, entspricht das 43°; bei 45° ist die Formel ohnehin nicht mehr gültig.

Der Faktor vor dem ersten Integrierer bestimmt die Zeitkonstante; mit dem Wert 2=0.707 sollte die Periodendauer 2sec sein.

Ausführung

Für die Bildung der Funktion sinφ gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Benutzung der Näherung sinφφ-φ36
  2. Bestimmung von sinφ aus φ durch Integration

In jedem Fall ist sinφ die Projektion in die horizontale Ebene.

Mit Näherungsformel

Der Fehler ist maximal φ5120; bei einer Auslenkung von 45° oder π4 sind das 0.25%. (Eine Tschebyscheff-Approximation mit 0.997x - 0.156x³ hat statt 1% nur 1‰ Fehler; dies ist aber wegen der alternativen Lösung über die Integration nicht weiter relevant.)

Zur analytische Bildung von x3 benötigt man jedoch zwei Multiplizierer, also folgende Rechenschaltung (Optimierungen durch invertierende Multiplizierer nicht berücksichtigt):

Alternativ kann man x36 auch durch zweimalige Integration von x bilden:

Das ergibt folgende Rechenschaltung:

[

Mit Integration

Da die Ableitungen von φ ohnehin vorhanden sind, kann sinφ als gleichzeitige Integration von φ erzeugt werden:

Nunmehr werden zusätzlich zu den beiden Integratoren auch zwei Multiplizierer benötigt:

Bemerkenswerterweise wird hier φ selbst nicht mehr benötigt.

Zwar sind mit sinφ die Auslenkung in x-Richtung und mit cosφ die in y-Richtung verfügbar; auf dem Oszilloskop oder Plotter sind aber nur mehr oder weniger lange Kreisbögen zu sehen.

Es könnte aber Sinn machen, φ oder sinφ als Funktion der Zeit darzustellen.

Rainer Glaschick 2014-06-23 22:07