Wenn Ihr Browser die Formeln nicht richtig darstellt, benutzen Sie bitte das {{:analogrechner:pendel.pdf|PDF}}. Pendel mit großer Auslenkung Autor: Rainer Glaschick, Paderborn Datum: 2014-06-22 Auf einem Analogrechner soll ein Pendel mit großer Auslenkung simuliert werden. Theorie ======= Die Schwingung eines Pendels ist gegeben durch ` ddot phi = - omega^2 sin phi Für kleine Auslenkungen ist `sin phi ~~ phi`, somit wird die übliche Lösung (Basisschaltung)für den linearen Oszillator: \center [svg:analogrechner/pendel-harmonisch.svg] Der zweite Integrierer wird mit der anfänglichen Auslenkung des Pendels initialisert, hier 0.75. Da im folgenden mit dem Bogenmaß gerechnet wird, entspricht das 43°; bei 45° ist die Formel ohnehin nicht mehr gültig. Der Faktor vor dem ersten Integrierer bestimmt die Zeitkonstante; mit dem Wert `sqrt 2 = 0.707` sollte die Periodendauer 2sec sein. Ausführung ========== Für die Bildung der Funktion `sin phi` gibt es zwei Möglichkeiten: a) Benutzung der Näherung `sin phi ~~ phi - phi^3 / 6` b) Bestimmung von `sin phi` aus `phi` durch Integration In jedem Fall ist `sin phi` die Projektion in die horizontale Ebene. Mit Näherungsformel ----- Der Fehler ist maximal `phi^5/120`; bei einer Auslenkung von 45° oder `pi /4` sind das 0.25%. (Eine Tschebyscheff-Approximation mit 0.997x - 0.156x³ hat statt 1% nur 1‰ Fehler; dies ist aber wegen der alternativen Lösung über die Integration nicht weiter relevant.) Zur analytische Bildung von `x^3` benötigt man jedoch zwei Multiplizierer, also folgende Rechenschaltung (Optimierungen durch invertierende Multiplizierer nicht berücksichtigt): \center [svg:analogrechner/pendel-polymult.svg:,] Alternativ kann man `x^3 / 6` auch durch zweimalige Integration von x bilden: `int x dt = 1/2 x ^ 2 `int x^2 dt = 1/3 x^3 `int int x d^2t = 1/6 x^3 Das ergibt folgende Rechenschaltung: \center [[svg:analogrechner/pendel-polyint.svg:,] Mit Integration ------------------ Da die Ableitungen von `phi` ohnehin vorhanden sind, kann `sin phi` als gleichzeitige Integration von `phi` erzeugt werden: `sin phi = -int dot phi cos phi dt `cos phi = int dot phi sin phi dt Nunmehr werden zusätzlich zu den beiden Integratoren auch zwei Multiplizierer benötigt: \center [svg:analogrechner/pendel-intint.svg:,] Bemerkenswerterweise wird hier `phi` selbst nicht mehr benötigt. Zwar sind mit `sin phi` die Auslenkung in x-Richtung und mit `cos phi` die in y-Richtung verfügbar; auf dem Oszilloskop oder Plotter sind aber nur mehr oder weniger lange Kreisbögen zu sehen. Es könnte aber Sinn machen, `phi` oder `sin phi` als Funktion der Zeit darzustellen. \ASCIIMATHML ASCIIMathML.js --- //[[rg@g-pb.de|Rainer Glaschick]] 2014-06-23 22:07//