Sinusschwingungen mit dem Analogrechner erzeugen

Rainer Glaschick, Paderborn

Als Lösung einer Differentialgleichung

Sinus- (und Cosinus-) Schwingungen werden auf dem Analogrechner durch Lösung der Differentialgleichung

    `phi'' + omega^2 phi = 0`

durch zwei Integratoren und einen Inverter erzeugt:

Wenn dabei der Anfangswert von x auf 1 und der von y auf 0 (oder umgekehrt) gesetzt werden, entsteht eine Sinusschwingung der Amplitude 1. Allerdings verringert sich im Laufe der Zeit die Amplitude durch Verluste in den Kondensatoren und die Eingangsströme der Operationsverstärker.

Sofern es notwendig ist, diese Verluste auszugleichen und eine beliebig andauernde Schwingung zu erzeugen, wird durch K1 eine positive Rückkopplung eingeführt.

Diese Schaltung wird durch folgendes Gleichungssystem beschrieben (siehe [TietzeSchenk], S. 476-479):

    `-tau dot x = z
    `-tau dot y = x + epsi z
    `-z = y

wobei `tau` die Zeitkonstanten der beiden Integratoren sind.

Elimination von z und y ergibt:

    `ddot x - epsi/tau^2 dot x + 1/tau^2 x = 0

Mit `omega=1/tau` und `2 gamma = -epsi omega^2` ist die Lösung:

    `x(t) = e^(-gamma t) sin(sqrt(omega^2 - gamma^2) *t)

Demgemäß ist nur für exakt `gamma = 0` und damit `epsi = 0` eine Schwingung mit konstanter Amplitude möglich; andere Werte bedeuten ein exponentielles Ansteigen der Amplitude.

Um eine stationäre und stablile Amplitude zu erreichen, ist daher eine nichtlineare Komponente notwendig, die die Amplitude bestimmt.

In der Analogrechentechnik ist es auf Grund des direkten Zugriffs auf das Verbindungsfeld üblich, dort diskrete Komponenten einzufügen, hier ein Paar antiseriell geschalteter Zenerdioden:

Dies ist nicht nur aus systematischen Gründen unbefriedigend, sondern erlaubt auch nicht das Einstellen der Amplitude durch Rechensignale oder zumindest Koeffizientenpotentiometer. Zudem haben Zenerdioden Sperrströme im µA-Bereich, deren Wirkung unklar ist. Dabei ist K1 so klein wie möglich einzustellen, um Verzerrungen möglichst klein zu halten. Eine Anfangsbedingung ist nicht notwendig, weil sich die Schwingungen selbst entfachen, wenn K1 groß genug ist, um die Schwingungen aufrecht zu erhalten.

Das Signal wird am besten am Ausgang von A1 abgenommen, da es dort am wenigsten verzerrt ist. Am Ausgang von A2 ist das Signal um 90° phasenverschoben, also der Cosinus.

Im MiniAC der Firma EAI ist ein Begrenzer-Zusatz vefügbar, der parallel zu einem zu begrenzenden Verstärker oder Integrator geschaltet wird und intern vorgespannte Dioden bereitstellt, womit zwar die Amplitude einstellbar wird, aber wegen der Dioden weder für kleine Spannungen geeignet noch temperaturstabil ist. Man kann den Begrenzer auch auf den Umkehrverstärker anwenden; allerdings ist dann bei gleicher Stellung von K1 eine größere Verzerrung vorhanden (die am Ausgang von A2 am geringsten ist).

Anstatt die Amplitude des Integrators zu beschränken, kann auch die Mitkopplung durch K1 ab einer vorgegebenen Amplitude neutralisiert werden, indem ein (negierender) Gleichrichter ab einem Schwellwert die (geringe) Mitkopplung `epsi` durch eine Gegenkopplung ersetzt, wenn die (negativen) Amplituden den durch K2 gegeben Wert unterschreiten (hier für den RG14 mit Stromeingängen):

Mit K2 kann die Amplitude beeinflusst werden; je größer der Wert, desto größer die Amplitude. Setzt man K3=9, ist die Amplitude sehr genau vorgegeben, aber die Verzerrung höher, wenn K1 nicht optimal (z.B. 0.03) ist. Ist hingegen K3=1, so ist das Signal unverzerrt, aber die Amplitude größer als vorgegeben.

Eine Variation der Faktoren in der Integratorenkette, d.h. F1, F2 oder F3, verändert nicht die Amplitude, sondern lediglich die Zeitkonstanten der Integratoren und damit die Frequenz. Das ergibt sich auch aus folgender Betrachtung im Frequenzbereich:

Integratoren haben eine konstante Phasenverschiebung von 90° und einen linearen Abfall der Verstärkung, die bei `omega = R C` 0dB beträgt. Da die Phasenverschiebung von der Frequenz unabhängig ist, bleibt als Bedingung eine Schleifenverstärkung 1, die damit von beiden Integratoren bereitgestellt wird.

Daraus ergibt sich aber auch, dass Oberwellen nicht stark gedämpft werden und die Stabilität der Frequenz entscheidend von der Amplitudenstabiliät abhängt.

In [TietzeSchenk] wird eine Regelschaltung angegeben, bei der die Amplitude mit Hilfe der Beziehung `sin^2 x + cos^2 x` in jedem Moment bestimmt wird; dann kann ein Regler eingesetzt werden, der die Amplitude auf den gewünschen Wert regelt, indem für das Potentiometer K1 ein Multiplizierer verwendet wird.

Als Polynom-Approximation

Aus einer Dreieckschwingung kann über die folgende →Tschebyscheff Approximation:

    `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3

eine Sinusschwingung mit einem Fehler von max. 8‰ erzeugt werden. Man könnte versuchen, das Quadrat und die dritte Potenz von `x` durch zweimalige Integration zu erzeugen; allerdings veschiebt sich nach einiger Zeit der Mittelwert, so dass ein Quadrierer und ein Multiplizierer angesagt sind.

Phasendifferenzmethode

Ein praktisch vergessener Ansatz für einen Sinusgenerator verwendet zwei Phasenbrücken, bei denen die Amplitude konstant ist, aber die Phase zwischen fast 0° und fast 180° (pro Brücke) durch einen einzigen variablen Widerstand eingestellt werden kann. In der zweiten Brücke wird dann die Phasenverschiebung wieder subtrahiert, so dass die Summe bei Resonanz immer 0° ist. Diese Methode liefert mit geringem Aufwand Sinussignale mit geringem Klirrfaktor und konstanter Amplitude bei Verstimmung eines einzigen Widerstands, aber nicht gleichzeitig Sinus und Cosinus, und erfordert mehr Rechenelemente auf einem Analogrechner als die dargestellten Rechenschaltungen, so dass sie nicht weiter betrachtet werden.

Literatur:

TietzeSchenk:
U. Titeze, Ch. Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 10. Auflage, Springer-Verlag (1993)

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