Mondlandung

Rainer Glaschick, Paderborn
2014-06-24

Auf einem Analogrechner ist die Simulation einer Mondlandung ein gleichzeitig kompaktes wie auch instruktives Beispiel.

Dabei können zwei Varianten unterschieden werden:

  • Die Simulation beginnt mit der Landefähre in einer Umlaufbahn. Zunächst muss mit dem Triebwerk die Kapsel gebremst werden, so dass sie die Umlaufbahn verlässt. Danach muss die Kapsel gedreht werden, weil zum Schluss der Vektor der Verzögerung senkrecht zur Modoberfläche stehen muss, diese Richtung aber zum Verlassen der Umlaufbahn nicht möglich ist.
  • Es wird nur die letzte Phase vereinfacht simuliert; d.h. die Landefähre sinkt senkrecht zur Oberfläche und muss nunmehr durch das Triebwerk so abgebremst werden, dass es sanft landet. Aufgabe ist dabei, mit dem gegebenen Vorrat von Treibstoff auszukommen, da bei zuviel Schub die Landefähre sich wieder entfernt und nur durch die Gravitation wieder umkehren kann.

Der Schub kann dabei entweder nur ein- und ausgeschaltet werden, oder über einen Regler kontinuierlich geändert werden; im letzterem Fall könnte als zusätzliche Schikane eingebaut werden, dass ein Schub unterhalb eines Mindestschubs nicht möglich ist.

Im folgenden Text wird eigentliche Landephase mit kontinuierlicher Schubsteuerung behandelt.

Theorie

Zahlenwerte sind:

Anfangsgeschwindigkeit `v_0`
`25 m s^-1 (90 k m h^-1)
Anfangshöhe `h_0`
`200 m`
Mond-Gravitation `g_m`
`1.6 * m s^-2`

Bewegungsgleichungen:

    `v(t) = v_0 + int_0^t a(t) dt`
    `h(t) = h_0 + int_0^t v(t) dt`

1. Konstante Beschleunigung

Bei konstanter Beschleunigung ergibt dies:

    `v(t) = v_0 + a*t`
    `h(t) = h_0 + 1/2 * a * t^2`

Am Landepunkt bei `t=t_1` soll der Weg und die Geschwindigkeit Null sein:

    `0 = v_0 + a t_1`
    `0 = h_0 + v_0 t_1 + 1/2 a t_1 ^2`

Ersetzen von `a = - v_0 / t_1`:

    `0 = h_0 + v_0 * t_1 - 1/2 * v_0 * t_1`
    `0 = h_0 + 1/2 * v_0 * t_1`
    `t_1 = 2 x_0 / -v_0`

`v_0` ist negativ, da die Höhe abnimmt, also:

    `t_1 = (400 * m) / (25 * m s^-1) = 16 s`
    `a_1 = (25 * m s^-1) / (16 * s) = 1.6 *m s^-2`

Das ist die gesamte Beschleunigung vom Mond fort, also kommt die Gravitation hinzu:

    `a_1 = a + g_m = 3.2 * m s^-2 = 0.33 g`

Das Triebwerk muss also mindestens ein Produkt aus Zeit und Beschleunigung von `16s * 0.33g = 5.3 gs = 52 ms^-1` liefern; dies wird auch als massenspezifischer Impuls bezeichnet.

Die Treibstoffanzeige erfolgt in Liter; Der Schubregler zeigt den Schub in Prozent; dem Maximalwert von 100% entspechen 1g.

Bei einem Verbrauch von 20l/s bei 1g und demgemäß von 7l/s bei 0.33 g werden mind. 112 l benötigt; der Anfangsvorrat könnte also 200l betragen.

Daten für den Analogrechner:

  • Zeitkonstante der Integrierer: 1 s
  • max. Beschleunigung: 1g (1 ME)
  • Mondgravitation: 0.16g (0.16ME)
  • Treibstoff: 200 l (1 ME)
  • Verbrauch: 20l/s bei 1g, also Faktor 0.1 am Integrator
  • Höhe: 200m (1 ME)
  • max. Geschwindigkeit: 50 m/s (1 ME) (= 180 km/h)
  • Anfangsgeschwindigkeit 25 m/s (0.5 ME) (= 90 km/h)
  • Faktor 0.25 für Geschwindigkeit zu Höhe (50m/s zu 200m)
  • Faktor 0.2 für Beschleunigung zu Geschwindigkeit (10m/s² zu 50m/s)
  • max. Landegeschwindigkeit: 2.5 m/s (0,05ME) (= 9km/h)

2. Progressives Beschleunigungsprofil

Hier wird die Beschleunigung linear von 0 auf einen Maximalwert gesteigert; wie groß ist der massenspezifische Impuls bzw. wieviel Liter Treibstoff werden benötigt?

3. Degressives Beschleunigungsprofil

Hier wird die Beschleunigung linear auf den Wert der Mondbeschleunigung reduziert; wie hoch ist die Anfangsbeschleunigung und wie hoch ist der Treibstoffverbrauch?

Schaltung für einen Analogrechner

Wünschenswert ist ein Analogrechner, der von einem Rechenergebnis in den Haltezustand (Anhalten der Integrierer) gebracht werden kann, wenn die Oberfläche erreicht ist. Weil der Treibstoff vorher aufgebraucht sein kann, wird eine Lösung benötigt, die das Triebwerk, d.h. die Beschleunigung durch den Raketenmotor abschaltet.

Es wird ein externes Bediengerät vorausgesetzt, das drei Drehspulinstrumente mit 10V Vollausschlag und Skalen für Treibstoffvorrat (200l), Höhe (200m) und Geschwindigkeit (±50m/sec). Letzteres wäre zwar als Mitteninstrument optimal, aber nicht leicht zu beschaffen; daher soll der Rechner bei Geschwindigkeit 0 die Mittenspannung von 5V ausgeben. Ferner ist in der Bedieneinheit ein Potentiometer (10kΩ) für die Steuerung des Schubs vorhanden, durchaus Schieberegler. Damit sind zusätzlich zur Masseverbindung 5 Anschlüsse notwendig. Eine eigene Spannungsversorgung ist nicht notwendig.

Die Symbole sind zwar an DIN 40700 angelehnt, sind aber teilweise erheblich modifiziert:

  • Digitale Steuereingänge sind gekennzeichnet wie ein aktiv-low Ein- oder Ausgang nach DIN 40900
  • Der (integrierte) Analog-Digital-Schalter hat eine abgerundete Ecke anstelle einer vollständigen Rundung
  • Das Koeffizientenpotentiometer hat am Eingang eine Pfeilspitze und optional einen Schalteingang

b) EAI MiniAC

Der Rechner kann Faktor-10 Eingänge durch Vergleicher einschalten; leider sind damit die Faktoren unhandlich klein:

Die Integratoren A11 und A12 liefern die Geschwindigkeit und die Höhe. Ist die Höhe kleiner als Null, werden sie durch ein Signal des Vergleichers C13 angehalten. Die Beschleunigung am Eingang von A11 setzt sich zusammen aus der Gravitation und dem Schub, der der Gravitation entgegengerichtet ist. A22 simuliert den Treibstoffvorrat.

c) Telefunken RAT700

Eventuell kann der Haltemodus durch die Buchse auf Postion 1n bewirkt werden.

Die Ansprechspannung der Schaltrelais ist nicht spezifizert, so dass sie an einen offenen Verstärker geschaltet werden sollten. Dann kann bei Treibstoff-Ende über das Relais der Schubregler abgetrennt werden.

d) Neubau RG14

Die folgende Schaltung zeigt eine Schaltung für einen Analogrechner mit Stromeingängen, beispielsweise einen Rechner aus der derzeit im Bau befindlichen Serie RG14 hier die kleinste Variante RG14-Mini:

Die beiden Integratoren A1 und A2 bestimmen die Geschwindigkeit und den Weg. Integrator A3 simuliert den Treibstoffvorrat.

Die Integratoren sind nicht anhaltbar; hingegen haben die Faktorkoppler einen Analogschalter; somit können die Summanden für einen Integrator einzeln abgeschaltet werden.

Wenn der Treibstoff verbraucht ist, werden der Schub und der Verbrauch ausgeschaltet; die Gravitation wirkt weiter.

Wenn die Fähre die Oberfläche erreicht, wird ein Aufprall simuliert. Hierzu liefert der Gleichrichter ein Signal, das proportional dem Eintauchen ist und mit maximalem Faktor eine Gegenbeschleunigung liefert.

Anhang

Rechnerfamilie RG14

Derzeit wird von mir eine Familie von Analogrechnern neu gebaut, die an etlichen Stellen mit der Tradition brechen. Ziel ist es, einen Analogrechner ohne Steckbrett bauen zu können, dessen Verschaltung durch ein Bussystem (Koordinatenschalter) erfolgt.

Optionen werden an den Rechenelementen,

Seine wesentlichen Eigenschaften sind:

  • Die Eingänge von Summierer und Integrierer sind Stromeingänge; die Summierung erfolgt durch Zusammenschaltung, so dass sowohl die Aus- als auch die Eingänge über Busschienen geführt werden können.
  • Anstelle von Koeffizientenpotentiometern werden Faktorkoppler verwendet, die die sonst in den Eingangsstufen enthaltenen Widerstände umfassen und somit die Eingangsspannung in einen Strom umsetzen
  • Die Faktorkoppler müssen nicht in der Schaltung eingestellt werden, da sie immer auf den Summenpunkt wirken.
  • Da ein direktes Verschalten nicht möglich ist, sind deutlich mehr Faktorkoppler als üblich vonnöten.
  • Faktorkoppler können auch Faktoren größer als 1 bereitstellen.
  • Die Standard-Faktorkoppler stellen die ersten beiden Ziffern des Faktors (d.h. von 0.0 bis 9.9) digital ein und nur den verbleibenden Rest durch ein Potentiometer mit Skala für den Bereich 0 bis 0.1.
  • Der Faktorkoppler kann intern wahlweise mit einem (Spannungs-)Eingang oder einer der beiden Referenzspannungen verbunden werden; diese sind auch bei extern verdrahteten Varianten (ausser Variante -0) nicht verschaltbar.
  • Die Integrierer haben ein eingebautes Potentiometer für die Anfangswerte, sofern etwa 5% Genauigkeit ausreichen. Da dies in der Regel der Fall ist, werden die Verbindungssysteme wesentlich entlastet.
  • Die Integrierer sind mit einer schnellen Anfangswertschaltung ausgestattet und können unverändert als Speicher verwendet werden.
  • Optionen werden an den Rechenelementen eingestellt, nicht durch die Verbindungsmatrix. Die höheren Ausbaustufen verwenden hierzu einen Digitalbus, wie er auch 1970 verfügbar gewesen wäre.

Die Varianten sind:

  • -0: Minimalvariante für Prototypenboards und zum Selbstbau; wenig flexibel und fragil, zur Prüfung der Grundkonzept und Grundschaltungen; ohne Digitalbus.
  • -1: Prototypenboard zur Verdrahtung, aber mechanisch stabiler aufgebaut und mit einem vollen Steuerbus ausgestattet.
  • -2: Zusammsteckbare Einzelmoduln; das Rechenprogramm wird durch lose Kabel gesteckt.
  • -3: Verschaltung durch Kreuzschienenverteiler, aufgebaut mit 2-pol Pfostenbuchsen als Kreuzungspunkte auf einer Leiterplatte..
  • -4: Wie vor, aber mit besseren und stabileren Steckkontakten, z.B. 6.3mm Klinkensteckern.
  • -5: Zielsystem mit vollständiger Digitalsteuerung

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